Gödel, consistencia, completitud y decidibilidad
Las consecuencias del primer teorema de incompletitud de Gödel suelen ser malentendidas, llegando, por ejemplo, a la conclusión errónea de que no pueden existir sistemas axiomáticos consistentes y completos.
Hay incluso quienes (también erróneamente) ponen en duda la demostración del teorema, porque han oído que existe una axiomatización de los números reales que es completa y consistente, y “como los reales contienen a los naturales y a su aritmética, entonces la aritmética es completa y consistente”.
No pretendo entrar ahora en el teorema, sino en explicar de manera informal el significado de “completitud”, “consistencia” y “decidibilidad”.
La “consistencia” es la más fácil de entender: un sistema es “consistente” cuando carece de contradicciones. Es decir, no se puede demostrar algo y su contrario.
La “completitud” es algo más complicada de explicar, pero digamos que un sistema es “completo” cuando todas sus “proposiciones verdaderas” son “demostrables”. Es decir, se pueden deducir a partir de los axiomas.
Por último, un sistema es “decidible” cuando existe un “método” para demostrar si una proposición es verdadera o falsa. Será verdadera si se puede deducir a partir de los axiomas, y falsa, si su negación se puede deducir a partir de los axiomas. En el caso de que no se pueda demostrar ni su veracidad ni su falsedad, el sistema será “indecidible”.
Como pueden imaginar, nadie quiere trabajar con sistemas inconsistentes. ¿Es la Aritmética1 consistente? No se sabe. Lo que sí se sabe es que no se puede demostrar la consistencia de la Aritmética usando los axiomas de la Aritmética, pero sí se puede demostrar su consistencia si usamos un sistema “más fuerte”, como la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF), asumiendo que ZF es consistente, claro; el problema es que no sabemos si lo es. Ya ven la que lió Gödel.
Todo esto debería hacerles comprender el impacto que tuvieron los teoremas de incompletitud en los matemáticos de la época y cómo se derrumbó su ideal de las Matemáticas como modelo de sistema puro y cristalino.
Por Aritmética nos referimos a la “aritmética Peano”.